Uncertainty principles and carleman inequalities

Résumé

El principal objetivo de esta tesis es el estudio de principios de incertidumbre en un contexto discreto, y su relación con la ecuación discreta de Schrödinger. Primero nos centramos en el principio de incertidumbre de Heisenberg, dando diferente versiones del principio en el caso discreto, para sucesiones finitas o infinitas. Después, relacionamos el minimizante de los principios de incertidumbre con la Gaussiana, que es el minimizante del caso clásico. Además, usando identidades Viriales damos una interpretación dinámica de la versión discreta del principio de Heisenberg, en términos de una solución de la ecuación discreta de Schrödinger. También estamos interesados en una generalización natural del principio de Heisenberg, el conocido como principio de incertidumbre de Hardy. Por un lado, damos una versión discreta de este principio usando teoría de variable compleja, como en la clásica demostración de Hardy en el caso continuo, y luego escribimos el principio de incertidumbre en términos de soluciones tanto de la ecuación de Schrödinger como de la ecuación del calor, probando que para las condiciones impuestas en el decaimiento de la solución el resultado es óptimo. Por otro lado, damos una versión preliminar del principio de incertidumbre de Hardy en el caso discreto usando métodos de variable real, en términos de soluciones de la ecuación de Schrödinger con un potencial acotado. Las principales herramientas para esto son propiedades de convexidad logarítmica y desigualdades de Carleman. Esta versión preliminar es mejorada usando de nuevo desigualdades de Carleman que implican una estimación inferior para soluciones no nulas, aunque el resultado sigue sin ser óptimo. Finalmente, estudiamos el problema estacionario, probando también una estimación por abajo para soluciones no nulas y unicidad de soluciones con decaimiento rápido. En el caso continuo, esta estimación mejora la estimación del caso dependiente del tiempo, pero esto no sucede en el caso discreto.