Técnicas de sistemas no lineales y sistemas complejos. Aplicaciones

Abstract

Durante los dos últimos decenios, ha tenido lugar la aparición de los sistemas complejos y las redes complejas, como una rama transversal y multidisciplinar e interdisciplinar, y muy especialmente en los campos de la Física y las Matemáticas: el artículo de Watts y Strogatz de 1998, "Collective dynamics of small-world networks", fue por ejemplo el artículo más citado sobre redes, en el decenio 1998-2008, y para el mismo período, el sexto más citado en Física, considerando todas las áreas de la Física. Esto supone una revolución interdisciplinar en Física, cuyo calado se ha dejado sentir desde 2008 hasta la actualidad. Así por ejemplo, el nacimiento de dos nuevas áreas de investigación en Física, como son la Sociofísica, y la Econofísica, son frutos de esta revolución silenciosa. Tanto en Econofísica como en Sociofísica, se plantean resolver problemas en el ámbito de la economía y de la interacción social, a partir de la aplicación de teorías y métodos, originalmente desarrollados en los campos de la Física, con especial énfasis en aquellos métodos que involucran aspectos estocásticos, de dinámica no lineal, y provenientes de los sistemas complejos, de manera que se plantean los problemas asociados a los fenómenos sociales, como propiedades emergentes de un conjunto de agentes, que interactúan entre sí para producir nuevos patrones dinámicos de comportamiento, que no se pueden predecir a partir del estudio de los agentes aislados del sistema. También durante los dos últimos decenios, el problema del control de los sistemas dinámicos ha sido, y es, un área de alta actividad multidisciplinar e interdisciplinar, que motiva la investigación en aerodinámica, biología, ingeniería, química, epidemiología, sistemas eléctricos de potencia, electrónica, mecánica de fluidos, láseres, ingeniería de mecanismos, fisiología, sistemas informáticos, detectores de ondas gravitatoria, etc. Esta memoria es el resultado de la participación del autor en el programa de doctorado de Física y Matemáticas de la UCLM (FisyMat). Este doble aspecto se deja sentir en la memoria realizada, donde el primer capítulo es una introducción a los sistemas dinámicos y al caos, desde una perspectiva puramente matemática (teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales), así como una breve descripción de los sistemas complejos, y donde el segundo capítulo es una introducción física a los sistemas dinámicos y al caos, mediante las llamadas rutas al caos. En esta memoria se trata, en los capítulos tres, cuatro y cinco, del control de caos homoclino, en el sentido de aumento y/o inhibición de la dinámica caótica, mediante excitaciones periódicas débiles, en sistemas disipativos, no autónomos, de dimensión baja. En el capítulo tres, se plantea y resuelve el problema, desde un punto de vista teórico, para la inhibición del caos en un oscilador Duffing de doble pozo de potencial, mediante el control de las resonancias ultrasubarmónicas, entre la frecuencia de una excitación paramétrica armónica, del término cúbico del oscilador de Duffing, y la frecuencia de forzamiento del mismo. Así mismo, se testean los resultados obtenidos mediante experimentos numéricos, a través de la aproximación del cociente inconmensurable de las frecuencias citadas, a una serie convergente de racionales, donde el cociente inconmensurable se obtiene mediante el desarrollo en fracciones continuas, de tres números irracionales, la razón áurea, una razón espiral, y la razón pi. En el capítulo cuatro, se estudia el fenómeno del escape caótico de un pozo de potencial, y mediante experimentos numéricos se ajustan los parámetros a tomar en el siguiente capítulo. Se usa, como modelo universal de escape, el escape en el oscilador de Helmholtz. En el capítulo cinco se estudia el problema del control del escape caótico de un pozo de potencial, tanto desde un punto de vista teórico, como mediante experimentos numéricos, que tratan de validar los resultados teóricos encontrados. La investigación se centra en el papel del impulso transmitido por las excitaciones controladoras del escape, y el papel que juegan las excitaciones multiplicativas en el control del escape caótico. En el capítulo seis se realiza una aproximación al estudio de las Redes de la Yihad, en el contexto de una teoría histórica, denominada “guerra de cuarta generación”, tanto desde una descripción a microescala, mediante el análisis de redes complejas, como desde una descripción a macroescala, mediante el fenómeno de la percolación. La metodología seguida para la realización de esta memoria ha consistido en el uso de técnicas analíticas y experimentos numéricos. En cuanto a las técnicas analíticas, se ha usado el análisis de Melnikov, la teoría hamiltoniana clásica, el análisis cualitativo de las ecuaciones diferenciales, y el análisis de redes complejas. En lo que se refiere a los experimentos numéricos, se realizaron códigos en Fortran y Mathematica para obtener series temporales, diagramas de bifurcación, exponentes de Lyapunov, cuencas de escape, probabilidad de escape normalizado, etc., en base a algoritmos estándar, recogidos en la literatura.