Un problema de contorno para la ecuaciones de Ginzburg-Landau

Abstract

El objetivo principal de esta memoria es el de establecer una teoría de existencia y unicidad de solución en los espacios Lª(Rn) para el problema de contorno definido por la ecuación de Ginzburg-Landau en Rn, Au=u(1-(u)2), y una cierta condición límite en el infitio que viene dada en términos de una función f de L2(Sn-1),concretamente, probamos que el problema de contorno está bienpropuesto en una bola de L4(Rn) si los datos f son pequeños y la dimensión del espacio n= 3 ó 4. En la prueba del resultado se utiliza un argumento de punto fijo basadoen estimaciones a priori de las soluciones de la ecuación de Helmoholtz y del operador de extensión de la transformada de Fourier de medidas sobre la esfera unidad, así como en las propiedades de acotación de las soluciones de la ecuación de Ginzaburg-Landau. En particular, establecemos estimaciones de tipo Morrey-Campanato para u y su gradiente en función de una condición de radiación de Sommerfeld. Terminamos este análisis dando algunas posibles generalizaciones de este resultado y estudiando la ecuación diferencial oridnaria que satisfacen las soluciones radiales y reales de la ecuaciónd e Ginzburg-Landau. Por último, probamos estimaciones de tipo débil-restringido para los operadores de Bochner-Riesz de índice negativo en puntos críticos para el problema de acotación en espacios de medida de Lebesgue.