Electromagnetic Schrödinger Hamiltonians

Résumé

El objetivo principal de esta tesis ha sido el de estudiar diversas estimaciones asociadas a la solución de ciertas ecuaciones dispersivas. Se han considerado perturbaciones lineales y no lineales de tipo electromagnético del hamiltoniano de Schrödinger y del operador de ondas, considerando en cada caso diversas ecuaciones asociadas a dichos hamiltonianos. Mas concretamente, se han estudiado propiedades de acotacion Lp de la solución de la ecuación de Helmholtz con potencial electromagnético, incluyendo entre los potenciales a estudio tanto potenciales no singulares como potenciales con singularidad en el origen. Los resultados que se han obtenido extienden los ya conocidos para la ecuacion clasica de Helmholtz. Otro de nuestros objetos de estudio ha sido la construcción de diversos contraejemplos para desigualdades de Strichartz para la solución de la ecuación de Schrödinger con potencial magnético. Estos resultados extienden los ya conocidos en el caso de potenciales eléctricos y gozan de la característica de que el decaimiento del potencial en el infinito está tan cercano como se desee a la singularidad que se supone crítica (potencial de Coulomb). Por ultimo y como trabajo final de la tesis se han estudiado dos aplicaciones no lineales. Se probaron diversos resultados de blow-up, tanto para la solucio n de la ecuación no lineal de Schrodinger con potencial electromagnético y singularidad crítica de la masa como para la solución de la ecuación de ondas no lineal con potencial electromagnético y singularidad subcrítica de la energía.