Problema inverso de Scattering para la ecuación de Schrödingerreconstrucción parcial del potencial a partir de datos de retrodispersión en 2d y 3d

Laburpena

Esta tesis se centra en el problema inverso de scattering para la ecuación estacionaria de Schrödinger, Consideramos el operador de Schrödinger asociado a un potencial q de soporte compacto. El problema directo de scattering para la ecuación de Schrödinger consiste en encontrar la autofunción generalizada u de este operador que se descompone como u=ui +us, donde ui es una onda plana de número de onda k, energía k^2, y us satisface la llamada condición de radiación de Sommerfeld saliente. La solución us describe la onda dispersada como consecuencia del fenómeno físico de scattering que experimenta una onda plana que incide en un medio dotado del potencial electrostático q. El problema inverso de scattering para la ecuación de Schrödinger consiste en recuperar el potencial a partir de los datos de campo lejano. En la práctica se substituye el potencial por la aproximación de Born qb (la linealización del problema inverso de scattering). Un problema matemático importante es averiguar cuánta información sobre el potencial contiene la aproximación de Born, preguntándose hasta qué punto la aproximación constituye un esquema de migración para el potencial. Los esquemas de migración son usuales en la Geofísica. El problema central de la tesis consiste en estudiar si dado un potencial q perteneciente a un espacio de Sobolev Hilbertiano con exponente de derivada A, se puede garantizar que q-qb esté en un Sobolev Hilbertiano con exponente de derivada B más elevado y estimar la precisión del esquema de migración dada por la diferencia B-A. La Tomografía de Difracción es la técnica de reconstrucción de la aproximación de Born a partir de los datos de scattering o campo lejano. En general, no hay una justificación matemática rigurosa del uso de la Tomografía de Difracción. Esta memoria, junto al trabajo de A.Ruiz y A.Vargas [Partial recovery of a potential from backscattering data. Comm. in PDE, 2005] contribuye a esta justificación me