Vortex filament equation for some regular polygonal curves

Résumé

Uno de los fenómenos más interesantes en la literatura sobre fluidos es la aparición yevolución de filamentos de vórtice. Algunos de sus ejemplos en el mundo real son los anillosde humo, los remolinos y los tornados. En el caso de un fluido ideal, se han propuesto variosmodelos y ecuaciones para describir esta evolución, de entre los cuales la VFE (vortexfilament equation) ha ganado protagonismo recientemente debido a su simplicidad ypropiedades geométricas. La ecuación apareció por primera vez en el trabajo de Da Rios aprincipios del siglo XX como una aproximación de la dinámica de un filamento de vórtice. Estemodelo generalmente se conoce como LIA (localized induction approximation). En estetrabajo, examinamos la evolución de la VFE para curvas poligonales regulares desde un puntode vista numérico y teórico, tanto en la geometría euclidiana como en la hiperbólica.En la primera parte de la tesis, observamos la evolución de la VFE tomando polígonosregulares de M lados con torsión no nula como datos iniciales en el espacio euclidiano.Usando técnicas algebraicas, respaldadas por simulaciones numéricas, mostramos que lassoluciones son polígonos en tiempos racionales, como en el caso de torsión nula. Sinembargo, a diferencia de ese caso, la evolución no es periódica en el tiempo, y además, latrayectoria multifractal de un punto no es plana y parece ser una hélice para tiempos grandes.Estas nuevas soluciones de la VFE pueden usarse para ilustrar numéricamente que sussoluciones regulares proporcionadas por hélices y líneas rectas comparten la mismainestabilidad que la establecida para los círculos. Esto se logra mostrando la existencia devariantes de la función no diferenciable de Riemann que están tan cerca de las curvas suavescomo se desee, cuando se mide en la topología correcta. Esta topología está motivada poralgunos resultados recientes que muestran que la VFE está bien definida y que sus solucionestienen energía renormalizada finita.En el resto del trabajo, profundizamos en la configuración hiperbólica y examinamos laevolución de la VFE para un l-polígono plano, es decir, un polígono plano regular en el espaciode Minkowski. A diferencia del caso euclidiano, un l-polígono plano es abierto, lo que hace queel problema sea más complicado desde un punto de vista numérico. Después de probar variosmétodos numéricos, concluimos que una discretización del espacio por diferencias finitascombinada con un método explícito de Runge--Kutta en tiempo brinda los mejores resultadosnuméricos tanto en términos de eficiencia como de precisión. Por otro lado, utilizandoargumentos teóricos, recuperamos la evolución algebraicamente y, por lo tanto, mostramosque los dos enfoques concuerdan. Durante la evolución numérica, se ha observado que latrayectoria de una esquina es multifractal, y que a medida que el parámetro l tiende a cero,converge a la función no diferenciable de Riemann.Además, como en el caso euclidiano, proporcionamos pruebas numéricas sólidas parademostrar que en tiempos infinitesimales, la evolución de la VFE para un l-polígono planocomo dato inicial puede describirse como una superposición de varios datos iniciales de unaesquina. Como consecuencia, no solo podemos calcular la velocidad del centro de masa del lpolígonoplano teóricamente, sino que la relación también revela propiedades importantes dela trayectoria de sus esquinas que comparamos con su equivalente en el caso euclidiano.Finalmente, una torsión no nula en el caso hiperbólico produce dos tipos diferentes de curvaspoligonales helicoidales, que también podemos abordar con las técnicas numéricas y teóricasdesarrolladas hasta ahora. Esto forma parte del trabajo futuro de la tesis.